Что такое арифметика


Арифметика — Википедия

Арифме́тика (др.-греч. ἀριθμητική, arithmētikḗ — от ἀριθμός, arithmós «число») — раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства. Предметом арифметики является понятие числа (натуральные, целые, рациональные, вещественные, комплексные числа) и его свойства. В арифметике рассматриваются измерения, вычислительные операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и приёмы вычислений. Изучением свойств отдельных целых чисел занимается высшая арифметика, или теория чисел. Теоретическая арифметика уделяет внимание определению и анализу понятия числа, в то время как формальная арифметика оперирует логическими построениями предикатов и аксиом. Арифметика является древнейшей и одной из основных математических наук; она тесно связана с алгеброй, геометрией и теорией чисел[1][2].

Причиной возникновения арифметики стала практическая потребность в счёте и вычислениях, связанных с задачами учёта при централизации сельского хозяйства. Наука развивалась вместе с усложнением задач, требующих решения. Большой вклад в развитие арифметики внесли греческие математики — в частности, философы-пифагорейцы, пытавшиеся с помощью чисел постичь и описать все закономерности мира.

В Средние века арифметику относили, вслед за неоплатониками, к числу так называемых семи свободных искусств. Основными областями практического применения арифметики тогда были торговля, навигация, строительство. В связи с этим особое значение получили приближённые вычисления иррациональных чисел, необходимые, в первую очередь, для геометрических построений. Особенно бурно арифметика развивалась в Индии и странах ислама, откуда новейшие достижения математической мысли проникли в Западную Европу; Россия знакомилась с математическими знаниями «и от греков, и от латин».

С наступлением Нового времени мореходная астрономия, механика, усложнившиеся коммерческие расчёты выдвинули новые требования к технике вычислений и дали толчок к дальнейшему развитию арифметики. В начале XVII века Непер изобрёл логарифмы, а затем Ферма выделил теорию чисел в самостоятельный раздел арифметики. К концу века сформировалось представление об иррациональном числе как о последовательности рациональных приближений, а в течение следующего столетия благодаря трудам Ламберта, Эйлера, Гаусса арифметика включила в себя операции с комплексными величинами, приобретя современный вид.

Последующая история арифметики ознаменована критическим пересмотром её основ, попытками дедуктивного её обоснования. Теоретические обоснования представления о числе связаны, в первую очередь, со строгим определением натурального числа и аксиомами Пеано, сформулированными в 1889 году. Непротиворечивость формального построения арифметики была показана Генценом в 1936 году.

Основам арифметики издавна и неизменно уделяется большое внимание в начальном школьном образовании.

Предметом арифметики являются числовые множества, свойства чисел и действия над числами[3]. К ней также относят вопросы, связанные с техникой счёта, измерениями[4], происхождением и развитием понятия числа[1]. Арифметика изучает, в первую очередь, натуральные числа и дроби[5]. На основе аксиоматической структуры множества натуральных чисел осуществляется построение других числовых множеств, включая целые, действительные и комплексные числа, проводится их анализ[1]. Иногда в рамках арифметики рассматривают также кватернионы и другие гиперкомплексные числа. Вместе с тем, из теоремы Фробениуса следует, что расширение понятия числа за пределы комплексной плоскости без потери каких-либо его арифметических свойств невозможно[6][7].

К основным действиям над числами относят сложение, вычитание, умножение и деление[3], реже — возведение в степень, извлечение корня[4] и решение численных уравнений[3]. Исторически список арифметических действий также включал собственно счёт, удвоение (помимо умножения), деление на два и деление с остатком (помимо деления), поиск суммы арифметической и геометрической прогрессий[8]. Джон Непер в своей книге «Логистическое искусство» разделил арифметические действия по ступеням: на низшей ступени находятся сложение и вычитание, на следующей — умножение и деление, далее — возведение в степень и извлечение корней[9]. Известный методист И. В. Арнольд к операциям третьей ступени относил также логарифмирование[10]. Традиционно арифметикой называют выполнение операций над различными объектами, как то: «арифметика квадратичных форм», «арифметика матриц»[1].

Собственно математические расчёты и измерения, необходимые для практических нужд (пропорции, проценты, тройное правило), относят к низшей, или практической арифметике[3], в то время как логический анализ понятия числа относят к теоретической арифметике[1]. Свойства целых чисел, деление их на части, построение непрерывных дробей являются составной частью теории чисел[1], которую долгое время считали высшей арифметикой[3]. Арифметика также тесно связана с алгеброй, которая изучает собственно операции без учёта особенностей и свойств чисел[1][11]. Такие арифметические действия, как возведение в степень и извлечение корней, являются технической частью алгебры. В этой связи, вслед за Ньютоном и Гауссом, алгебру принято считать обобщением арифметики[3][4]. Вообще говоря, чётких границ между арифметикой, элементарной алгеброй и теорией чисел не существует. В БСЭ сказано: «Алгебра изучает, пользуясь буквенными обозначениями, общие свойства числовых систем и общие методы решения задач при помощи уравнений; арифметика занимается приёмами вычислений с конкретно заданными числами, а в своих более высоких областях (см. Чисел теория) — более тонкими индивидуальными свойствами чисел»[12].

Как и прочие академические дисциплины, арифметика сталкивается с принципиальными методологическими проблемами; для неё необходимо исследование вопросов непротиворечивости и полноты аксиом[3]. Логическими построениями формальной системы предикатов и аксиом арифметики занимается формальная арифметика[2].

Порядковый счёт, натуральные числа[править | править код]

Одно яблоко, два яблока, три яблока. Натуральные числа

Простейшим арифметическим понятием является порядковый счёт. Объектом счёта служат различные элементы или их множества, например, яблоки и корзины яблок. С помощью порядкового счёта можно пронумеровать элементы и обозначить их общее количество.

Порядковый счёт связан со счётом группами, содержащими определённое равное количество элементов — например, счёт десятками яблок. Обычно это пальцы на двух руках (основание равно 10{\displaystyle 10}), но в исторических источниках встречаются группировки по 5,11,12,20,40,60,80{\displaystyle 5,11,12,20,40,60,80}. Количество элементов в группе служит основанием для системы счисления[11].

Числовой ряд, получаемый при счёте, называют натуральным, а его элементы — натуральными числами. Понятие натурального ряда впервые появилось в работах греческого математика Никомаха в I веке н. э., а натурального числа — у римского автора Боэция в конце V — начале VI века. Всеобщее употребление термина начинается с работ Д’Аламбера в XVIII веке. Архимед в своей работе «Псаммит» указал, что числовой ряд можно продолжать неограниченно, но вместе с тем заметил, что для реальных задач достаточно небольшого отрезка[13]. Деление натуральных чисел на чётные и нечётные приписывают пифагорейцам, оно также присутствует в египетском папирусе Ринда. Пифагорейцы также определили простые и составные числа[14].

Сложение, умножение, возведение в степень[править | править код]

3+2=5{\displaystyle 3+2=5}

Для натуральных чисел естественным образом определены операции сложения и умножения. При объединении двух наборов, содержащих некоторое количество предметов, новый набор будет иметь столько предметов, сколько было в первых двух наборах вместе. Если первый набор содержал 3{\displaystyle 3} предмета, а второй — 2{\displaystyle 2} предмета, то их сумма будет содержать 2+3=5{\displaystyle 2+3=5} предметов. Указанное действие носит название сложения и является простейшей бинарной операцией[4]. Для проверки корректности суммы таблицу сложения знать не обязательно, достаточно пересчитать предметы[15].

Многократное сложение элементов нескольких одинаковых множеств не зависит от порядка этих множеств, что позволило определить другую бинарную операцию — умножение[4]. Помимо умножения, в древности существовало отдельное арифметическое действие — удвоение, или умножение на два[16].

По аналогии с определением умножения через сложение, многократное умножение позволяет определить операцию возведения в степень.

Основные законы арифметики[править | править код]
Переместительный закон умножения

Про свойства этих операций сформулированы пять законов, которые считаются основными законами арифметики[17]:

  • Коммутативность: переместительный закон сложения гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Аналогичный закон известен и для умножения, но он, конечно, говорит о множителях и произведении. Эти законы можно выразить в алгебраической форме с помощью буквенных обозначений:
a+b=b+a{\displaystyle a+b=b+a}
a⋅b=b⋅a{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}
  • Ассоциативность: сочетательный закон сложения гласит, что складывая несколько слагаемых, можно группировать их в любом порядке. Аналогичный закон для умножения говорит о перемножении множителей. Эти законы также можно выразить в алгебраической форме:
(a+b)+c=a+(b+c){\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}
(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c){\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}
(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c{\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}

Помимо основных законов арифметики, для натуральных чисел выполняются также законы монотонности сложения и умножения[18][19], в алгебраической форме записываемые так:

a+b>a+c{\displaystyle a+b>a+c} при b>c{\displaystyle b>c};
a⋅b>a⋅c{\displaystyle a\cdot b>a\cdot c} при b>c{\displaystyle b>c} и a>0{\displaystyle a>0}.

Термин «коммутативный» для переместительного закона ввёл в 1814 году французский математик Сервуа. Термин «ассоциативный» для сочетательного закона ввёл в 1853 году Гамильтон[17].

Пуанкаре рассматривал все арифметические операции и законы с точки зрения интуиции. Утверждая, что законы очевидным образом выполняются для малых чисел, и используя правило индукции, можно прийти к выводу, что они выполняются для всех чисел. При другом подходе интуитивно выполнимыми считаются не все, а только простейшие законы, в то время как дальнейшее доказательство связано с логическими построениями[20]. Очевидными принимались переместительный и сочетательный законы[17]. Распределительный, или дистрибутивный закон в своих «Началах» доказывал ещё Евклид, используя геометрический метод[21].

Операция возведения в степень уже не коммутативна и не ассоциативна, у неё свои правила. Основные правила выполнения этой операции при положительных степенях очевидным образом следуют из её определения[4]. В алгебраической форме они могут быть записаны следующим образом:

  • Дистрибутивность — распределительный закон для операции возведения в степень:
an+m=anam{\displaystyle a^{n+m}=a^{n}a^{m}}
  • он же, в случае вычитания, приобретает форму дроби:
an−m=anam,n>m{\displaystyle a^{n-m}={a^{n} \over {a^{m}}},\quad n>m}
  • Повторное возведение в степень раскрывается как перемножение степеней:
(an)m=anm{\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}}.

Обратные операции[править | править код]

У всех операций арифметики есть обратные: у сложения — вычитание, у умножения — деление, у возведения в степень — арифметический корень и логарифм. То, что у сложения и умножения по одной обратной операции, несмотря на их бинарность, объясняется их коммутативностью.

Вычитание: отрицательные числа[править | править код]
5−2=3{\displaystyle 5-2=3}

Вычитание — это операция, обратная сложению: разностью двух чисел 5{\displaystyle 5} и 2{\displaystyle 2} является x{\displaystyle x} из уравнения 2+x=5{\displaystyle 2+x=5}[4]. Обозначается операция вычитания знаком «−» и записывается в виде 5−2=3{\displaystyle 5-2=3}. Для выполнения операции применяли два приёма: отсчитывание от уменьшаемого числа единиц вычитаемого или подбор такого числа, прибавление которого к вычитаемому давало бы уменьшаемое[16].

Операция вычитания, если её применять ко всем парам натуральных чисел, а не только к таким, которые могли бы быть суммой и слагаемым в рамках операции сложения, позволяет выйти за пределы натурального ряда, то есть разность двух натуральных чисел не обязательно является натуральным числом — в результате вычитания может получиться ноль или вовсе отрицательное число. Отрицательные числа уже невозможно рассматривать как количество предметов, на числовой оси они расположены левее ноля. Множество чисел, получившееся добавлением к натуральным числам отрицательных чисел и числа ноль, носит название множества целых чисел. Ноль и множество натуральных чисел называются неотрицательные целые числа[4]. При умножении, чтобы определить, положительным или отрицательным будет произведение чисел, используют «правило знаков»[22].

Отрицательные числа считали ненастоящими и бессмысленными очень многие математики вплоть до XIX века, что, однако, не мешало их повсеместному формальному использованию. Впервые понятие отрицательных чисел появилось в Индии, где их толковали как «долг» (положительные числа — «имущество»). Распространение же отрицательные числа получили только в XVII веке[23]. Термин «вычитание» появился ещё у Боэция, термины «вычитаемое» и «уменьшаемое» ввёл в обиход Вольф в 1716 году, «разность» — Видман в 1489 году[16]. Современное обозначение знаками «+» и «−» было также введено Видманом в конце XV века.

Деление: рациональные числа[править | править код]

Обратной к операции умножения является операция деления. Первое определение деления — это поиск числа, которое содержится в делимом столько раз, сколько единиц содержится в делителе. Такое определение дано в учебниках арифметики XIV века — например, 20:4=5{\displaystyle 20:4=5}. Деление считалось очень сложной и громоздкой операцией. Современный способ деления, использующий частичные произведения делителя на отдельные разряды частного (деление столбиком), представлен в итальянском манускрипте 1460 года[16].

Для натуральных чисел, не являющихся множителем и произведением, известна операция деление с остатком (а определение собственно остатка от деления также называется деление по модулю). Также существует множество способов, упрощающих деление в различных частных случаях или позволяющих проверить делимость на то или иное число. Например:

  • число без остатка делится на два, если его последняя цифра при десятичной записи делится на два;
  • число без остатка делится на три, если сумма всех его цифр при десятичной записи делится на три;
  • число без остатка делится на десять, если его последняя цифра при десятичной записи — ноль.

Операция деления, если делить не только те числа, которые можно получить умножением натуральных чисел, и при этом не выделять остаток, так же как и вычитание, позволяет выйти за пределы множества натуральных чисел. При делении могут получиться дроби, которые невозможно без остатка сократить до целого. Числа, соответствующие таким дробям, называются рациональными. За счёт осознания основанных на делении рациональных чисел происходит ещё одно расширение перечня известных видов чисел. Исторически сначала появилось понятие дроби, а затем отрицательного числа[24]. Такой же порядок принят в школьном курсе[25].

Используется две формы записи дробей — в виде числителя и знаменателя, разделённых горизонтальной или наклонной чертой и часто сокращаемых до минимальных чисел, и в виде цифр дробной части, размещаемых после знака-разделителя целой и дробной части в позиционной записи числа. Например, результат деления 10 на 20 может быть записан как 1020=10/20=5/10=1/2=0,5{\displaystyle {\frac {10}{20}}=10/20=5/10=1/2=0{,}5}.

Извлечение корня: иррациональные и комплексные числа[править | править код]

Одна из двух обратных для возведения в степень операций — извлечение корня, или поиск числа, которое при возведении в соответствующую степень будет давать известный результат. То есть, говоря алгебраически, это поиск корня для уравнения вида xa=b{\displaystyle x^{a}=b}. Вторая обратная операция — поиск логарифма (корня для уравнения вида ax=b{\displaystyle a^{x}=b}). К арифметике, как правило, относят лишь вычисление корня второй степени — квадратного корня.

Операция вычисления корня, если выполнять её не только для тех чисел, которые можно получить возведением в степень натуральных чисел, так же как и остальные обратные операции, позволяет выйти за пределы множества натуральных чисел. Числа, которые получаются при этом, часто не могут быть представлены в виде конечных рациональных дробей и поэтому названы иррациональными. Множество чисел, полученное добавлением к рациональным числам иррациональных, назвали вещественными или действительными.

Ещё в Древней Греции было известно о существовании несоизмеримых отрезков, как минимум, на примере сторон и диагонали квадрата со стороной, принятой за единицу, и проводились попытки получить для них точные числовые значения, что нашло отражение в «Началах» Евклида. Вещественные числа стали объектом исследований только в XVII—XVIII веках. Во второй половине XIX века Дедекинд, Кантор и Вейерштрасс сформулировали свои конструктивные способы определения вещественного числа[26].

Для операции извлечения корня известно следующее правило[4]:

anm=anm{\displaystyle a^{n \over m}={\sqrt[{m}]{a^{n}}}}.

Дальнейшее расширение множества чисел было связано с невозможностью извлечения квадратного корня из отрицательного числа. С подобной задачей сталкивались в древности при решении квадратных уравнений, и такие уравнения просто считали неразрешимыми. В первой половине XVI века стали выражать решения таких уравнений через корни из отрицательных чисел и называть такие корни «мнимыми», «невозможными», «воображаемыми» и т. д.[27]

Практическая сторона арифметики включает в себя методы, схемы и алгоритмы для осуществления точных арифметических действий, в том числе использование счётных машин и других устройств, а также различные приёмы приближённых вычислений, которые появились в связи с невозможностью получить точный результат при некоторых измерениях и позволяют определить его порядок, то есть первые значащие цифры[28].

Точные методы[править | править код]

Начиная с XV века предлагались разные алгоритмы для осуществления арифметических операций над многозначными числами, которые отличаются характером записи промежуточных вычислений[1]. Арифметические алгоритмы построены на действующей позиционной системе счисления, когда любое положительное действительное число x{\displaystyle x} единственным образом представимо в виде

x=(an−1an−2…a1a0,a−1a−2…)b=∑k=−∞n−1akbk{\displaystyle x=(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots )_{b}=\sum _{k=-\infty }^{n-1}a_{k}b^{k}}, где a{\displaystyle a} — очередная цифра записи числа x{\displaystyle x}, b{\displaystyle b}

ru.wikipedia.org

Значение слова АРИФМЕТИКА. Что такое АРИФМЕТИКА?

Арифме́тика (др.-греч. ἀριθμητική; от ἀριθμός — число) — раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства. Предметом арифметики является понятие числа в развитии представлений о нём (натуральные, целые и рациональные, действительные, комплексные числа) и его свойствах. В арифметике рассматриваются измерения, вычислительные операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и приёмы вычислений. Изучением свойств отдельных целых чисел занимается высшая арифметика, или теория чисел. Теоретическая арифметика уделяет внимание определению и анализу понятия числа, в то время как формальная арифметика оперирует логическими построениями предикатов и аксиом. Арифметика является древнейшей и одной из основных математических наук; она тесно связана с алгеброй, геометрией и теорией чисел.

Причиной возникновения арифметики стала практическая потребность в счёте, и вычислениях, связанных с задачами учёта при централизации сельского хозяйства. Наука развивалась вместе с усложнением задач, требующих решения. Большой вклад в развитие арифметики внесли греческие математики, в частности философы-пифагорейцы, пытавшиеся с помощью чисел постичь и описать все закономерности мира.

В Средние века арифметику относили, вслед за неоплатониками, к числу так называемых семи свободных искусств. Основными областями практического применения арифметики тогда были торговля, навигация, строительство. В связи с этим особое значение получили приближённые вычисления иррациональных чисел, необходимые в первую очередь для геометрических построений. Особенно бурно арифметика развивалась в Индии и странах ислама, откуда новейшие достижения математической мысли проникли в Западную Европу; Россия знакомилась с математическими знаниями «и от греков, и от латин».

С наступлением Нового времени мореходная астрономия, механика, усложнившиеся коммерческие расчёты поставили новые запросы к технике вычислений и дали толчок к дальнейшему развитию арифметики. В начале XVII века Непер изобрёл логарифмы, а затем Ферма выделил теорию чисел в самостоятельный раздел арифметики. К концу века сформировалось представление об иррациональном числе как о последовательности рациональных приближений, а в течение следующего столетия благодаря трудам Ламберта, Эйлера, Гаусса арифметика включила в себя операции с комплексными величинами, приобретя современный вид.

Последующая история арифметики ознаменована критическим пересмотром её основ, попытками дедуктивного её обоснования. Теоретические обоснования представления о числе связаны в первую очередь со строгим определением натурального числа и аксиомами Пеано, сформулированными в 1889 году. Непротиворечивость формального построения арифметики была показана Генценом в 1936 году.

Основам арифметики издавна и неизменно уделяется большое внимание в начальном школьном образовании.

kartaslov.ru

АРИФМЕТИКА - это... Что такое АРИФМЕТИКА?

- область знаний о числах и операциях в числовых множествах. Говоря об А., имеют в виду рассмотрение вопросов о происхождении и развитии понятия числа, приемы и средства вычислений, исследование операций с числами различной природы, анализ аксиоматич. структуры числовых множеств, свойства чисел. Когда делается упор на логич. анализе понятия числа, то иногда употребляют термин теоретическая арифметика. А. тесно связана с алгеброй, в к-рой, в частности, изучаются свойства операций над числами. Свойства же самих целых чисел составляют предмет теории чисел (см. Элементарная теория чисел, Чисел теория).

Термин "А." иногда употребляют и тогда, когда имеют дело с операциями над объектами самой различной природы: "А. матриц", "А. квадратичных форм" и т. д.

Культура счета возникла и развивалась задолго до создания дошедших до нас письменных памятников. Наиболее древними письменными математич. памятниками являются кахунские папирусы и знаменитый папирус Ринда, относящийся приблизительно к 2000 до н. э. Аддитивная иероглифич. система счисления позволяла египтянам сравнительно просто производить только операции сложения и вычитания натуральных чисел.

Умножение выполнялось с помощью удвоения, т. е. множитель разбивался на сумму степеней двойки, производилось умножение на отдельные слагаемые, а затем компоненты складывались. Действия с дробями египтяне сводили к операциям саликвотными дробям п, т. е. с дробями вида -. Более сложные дроби разбивались с помощью таблиц на сумму алпквотных дробей. Деление осуществлялось вычитанием из делимого чисел, получаемых в процессе последовательного удвоения делителя. Громоздкая шестидесятичная система счисления вавилонян вызывала большие трудности при выполнении арифметич. операций. До нас дошли многочисленные таблицы, с помощью к-рых вавилоняне выполняли умножение и деление.

А. у греков - изучение свойств чисел; они не относили к ней практику вычислений. Вопросы, связанные с техникой операций над числами, т. е. способы вычислений, составляли особую науку, наз. логистикой. Такое разделение от греков перешло в средневековую Европу. Только в эпоху Возрождения общим назв. А. стали объединять как начатки теории чисел, так и практику вычислений. Греческая математика резко разграничивала понятия числа и величины. Греческие математики называли числами только те числа, к-рые теперь наз. натуральными числами, и различали такие разнородные, по их представлениям, понятия, как числа п гео-метрич. величины. Специальные греческие сочинения по логистике до нас не дошли: все же известно, что греки применяли способ умножения, близкий к современному. Алфавитная система нумерации сильно усложняла операции над числами. Греки практиковали вычисления с обыкновенными дробями, однако дроби не рассматривались как- числа, а только как отношения натуральных чисел.

7 -9-ю книги "Начал" Евклид (3 в. до н. э.) посвятил целиком А. в античном. алгоритм отыскания наибольшего общего делителя (см. Евклида алгоритм), теоремы о простых числах. Евклид обосновывает коммутативность умножения, а также дистрибутивность этой операции относительно сложения. Рассматривается теория пропорций, т. е., по существу, теория дробей. В других книгах в геометрич. форме излагается общая теория отношений величин, к-рую можно рассматривать как зачатки теории действительных чисел.

8 дошедших до нас рукописях Диофанта (вероятно, 3 в.) можно найти действия со степенями, показатели к-рых не превосходят шести, и нек-рые приемы операций с вычитаемыми. В неявной форме это операции с отрицательными числами. Сформулированные Диофантом правила применялись им только к рациональным числам.

Китайские математики во 2 в. оперировали с дробями и отрицательными числами. Несколько позже ими рассматривались методы извлечения квадратных п кубич. корней, приближенные значения к-рых выражались в виде десятичных дробей. Применявшиеся китайскими математиками для решения арифметич. задач правила, в частности правило двух ложных положений, вошли во многие руководства по А. сначала у арабов, а затем и в Европе. О начальном периоде арифметич. культуры в Индии не имеется достаточно данных. Простейшие дроби употреблялись в Индии задолго до нашей эры. Ныне общепринятая десятичная система счисления индийского происхождения. Начиная с 5 в. имеются датированные письменные источники и они показывают высокую арифметич. культуру Индии в ту эпоху. Индийские математики оперировали с целыми и дробными числами методами, близкими к современным. Решались многие задачи на пропорции, тройное правило и проводились процентные вычисления. С 7 в. начали рассматриваться отрицательные числа. В сочинениях Бхаскары II "Венец науки" (12 в.) приводятся правила умножения и деления отрицательных чисел.

Индийская математика оказала решающее влияние на развитие арифметич. знаний у арабов. Написанный в 9 в. Мухаммедом аль-Хорезмп трактат по А. способствовал повсеместному распространению индийской десятичной системы записи чисел и способов сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня.

У многих древних народов первоначальные приемы счета на пальцах заменяются вычислениями на абаке. Абак менял свою форму, но принцип оставался один и тот же - разграфленные колонны или к.-л. другим образом отведенные места для поразрядной отметки чисел. У греков абак употреблялся задолго до нашей эры. Абак (суан-пан) у китайцев по форме близок к нашим русским счетам, представляющим собой также разновидность абака.

В то время как теоретико-числовые исследования в Европе возникли на базе греческой математики, в первую очередь трудов Евклида п Диофанта, совершенно иначе обстоит дело с техникой вычислений. Развитие А. в Европе связано с распространением индийской десятичной позиционной системы и арабских цифр. Техника арифметич. операций заимствована из Индии не непосредственно, а в результате ознакомления с трудами Мухаммеда аль-Хорезми и других арабских математиков.

В средние века широко применялся абак. Он стал даже синонимом слова А., так что Леонардо Ппзанский (Leonardo Pisano, 13 в") назвал свой трактат по А. "Книга абака". В этой книге изложены заимствованные иа арабских источников приемы вычисления, однако сделаны и существенные усовершенствования. Напр., при сложении дробей используется наименьшее общее кратное знаменателей, а проверка действий производится не только, как это делали индийцы с помощью девятки, но и с использованием нек-рых других модулей, Рассматриваются задачи на тройное правило, правиле товарищества, на смешение величин, задачи, в к-рыз фигурируют рекуррентные последовательности, арифметические прогрессии и геометрические прогрессии. В Европе первые шаги в направлении применения десятичных дробей были сделаны в 15 в., но широкое распространенпе они получили только в 16 в. после выхода сочинений С. Стевина (S. Stevin).

В 15-16 вв., да и позже, предлагались разные схемы для умножения и деления многозначных чисел. Эти схемы отличаются друг от друга, в сущности, только характером записи промежуточных вычислений. Общепринятый в настоящее время способ умножения ввел А. Ризе (A. Riese, 16 в.).

Отрицательные числа появляются в Европе впервые у Леонардо, к-рый трактовал их в форме долга. Операции с отрицательными числами систематизируются М. Штифелем (М. Stiefel, 16 в.). Такие числа он наз. "фиктивными". В 18 в. еще рассматривались доказательства правил операций с отрицательными числами и только критич. мышление 2-й пол. 19 в. положило конец серьезному восприятию таких работ.

Арифметич. действия над иррациональными числами до 15-16 вв. в Европе ограничивались квадратными корнями. Все же Леонардо рассматривал вопрос о приближенном вычислении не только квадратных, но и кубич. корней. С. Даль Ферро (S. Dal Ferro, конец 15 в.-начало 16 в.) и Н. Тарталья (N. Tartaglia, 16 в.) при решении уравнения 3-й степени стали употреблять кубич. корни. Общая трактовка операций с действительными числами отсутствовала. Понятие действительного числа входило в математпч. обиход только постепенно в связи с развитием аналитич. еометрии и математич. анализа.

Вплоть до 18 в. обоснование операций над иррациональными числами ограничивалось величинами выражаемыми в радикалах. При рассмотрении квадратных уравнений математики разных эпох, начиная с индийских математиков, встречались с комплексными величинами. Однако мнимые решения отбрасывались как несуществующие. А. комплексных чисел начинается с работ Р. Бомбеллн (R. Bombelli, 16 в.), давшего формальные правила арифметич. действий над такими числами. Но и в 17 в. операции над комилексными числами производили по аналогии с операциями над действительными числами, что часто приводило к ошибкам. Только в 18 в. формулы Муавра и Эйлера обеспечили возможность четкого построения А. комплексных чисел.

Идея введения логарифмов восходит к Архимеду (3 в. до н. э.), к-рый сравнивал члены геометрич. и арифметич. прогрессий. М. Штифель (М. Stiefel, 16 в.) продолжил сравниваемые прогрессии влево, добавив отрицательные степени. Он показал связь между операциями над этими рядами, дав, таким образом, основную идею логарифмов. Логарифмирование и использование этой операции для вычислений начали применять в 1-й пол. 17 п. после работ Дж. Непера (J. Napier) и и. Бюрги (J. Burgi).

В 17 в. В. Шиккард (W. Schickard) и Б. Паскаль (В. Pascal) создали независимо друг от друга вычислительные машины - прототипы современных арифмометров. Но широкое практич. применение счетные машины получили только в 19 в. В сер. 20 в. распространяются быстродействующие электронные вычислительные машины. В связи с этим актуальными становятся задачи отыскания алгоритмов, позволяющих выполнять арифметич. действия с наименьшим числом элементарных операций.

Чтобы обосновать какую-нибудь теорию, со времени Евклида считалось достаточным выделить в ней небольшое число ясных простейших первичных начал и убедиться, что все основные положения данной теории можно вывести из них чисто логически. Подразумевалось, что связь этих начал с действительным миром должна быть доступной непосредственному восприятию.

В 19 в. был открыт метод моделей для обоснования математич. теорий. Необходимость этого метода была обусловлена тем, что в математике стали рассматриваться объекты и теории, для к-рых не удавалось найти реального истолкования. непротиворечивость одной математич. теории к непротиворечивости другой. Так, в предположении, что непротиворечива евклидова геометрия, была доказана непротиворечивость геометрии Лобачевского, а непротиворечивость евклидовой геометрии была сведена к непротиворечивости А. действительных чисел.

К концу 19 в. обоснование А. казалось завершенным. Р. Дедекинд (Н. Dedekind) и, независимо от него, Дж. Пеано (G. Реапо) указали систему аксиом А. натуральных чисел, из к-рой можно вывести все известные положения этой науки. К. Вейерштрасс (К. Weierstrass) предложил в качестве моделей для целых и положительных рациональных чисел классы пар натуральных чисел. Геометрич. истолкование комплексных чисел, открытое Ж. Арганом (J. Argand), К. Весселем (С. Wes-sel) и К. Ф. Гауссом (К. F. Gauss), по существу является моделью для теории комплексных чисел в рамках теории действительных чисел. И, наконец, теоретико-множественный подход позволил Р. Дедекинду, Г. Кантору (G. Cantor) и К. Вейерштрассу построить теории действительных чисел.

Но после того, как стали известны парадоксы в теории множеств, возник вопрос: как обосновать А. натуральных чисел и действительных чисел? Есть ли гарантия, что парадоксы не будут обнаружены и в этих разделах математики? Непосредственное восприятие не позволяет сделать заключение ни о бесконечной протяженности Вселенной, ни о бесконечной делимости вещества. Поэтому представления о бесконечности множества натуральных чисел и о непрерывности числовой прямой нельзя рассматривать как непосредственно связанные с физическим миром. С другой стороны, для А. натуральных чисел нет более простой модели, чем сама эта теория, а при построении моделей для теории действительных чисел существенным образом используется аппарат теории множеств, в надежности к-рого появились основания усомниться.

Какими должны быть способы и средства рассуждений, на основании к-рых, не прибегая к построению модели, непосредственно можно убедиться, что в данной теории никогда не возникнет противоречий, что на основании аксиом данной теории нельзя с помощью цепочки логич. умозаключений получить результаты, противоречащие друг другу?

Д. Гильберт (D. Hilbert) считал, что парадоксы в теории множеств возникают вследствие того, что безотказно работающие в области конечных систем объектов способы рассуждений без должных оснований применяются к бесконечным совокупностям. Но этого можно избежать, если рассматривать употребляемые символы как объекты нек-рой новой теории, а логич. умозаключения выражать с помощью формального процесса. В таком случае любое высказывание теории представляется в виде формулы, составленной из конечного множества символов, а доказательство - в виде конечной цепочки формул, образованной по определенным правилам из формул, наз. аксиомами. Тогда, по мысли Д. Гильберта, появится возможность оперирования с бесконечным заменить оперированием с конечным и получить надежный способ установления непротиворечивости любой теории. Д. Гильберт надеялся, что на этом пути будет в первую очередь найдено положительное решение проблемы непротиворечивости А. натуральных чисел и, более того, будет показано, что присоединение к формулам А. любой недоказуемой формулы теории чисел превращает эту систему аксиом в противоречивую систему.

Но эти надежды не оправдались. В 1931 К. Гёдель (К. Godel) доказал неполноту арифметики формальной. Более того, оказывается, что для всякой непротиворечивой формальной системы, содержащей аксиомы А., можно дать явное описание нек-рой замкнутой формулы итакой, что ни сама формула и, ни ее отрицание не выводимы в этой формальной системе.

Воспользовавшись этим результатом, можно доказать существование неизоморфных моделей формальной А. Вместе стем система Пеано аксиом категорична. Как объяснить это? Система аксиом Пеано содержит аксиому индукции: каждое натуральное число обладает нек-рым свойством Р, если 1 обладает этим свойством и вместе с каждым натуральным числом п, обладающим свойством Р, натуральное число n+l также обладает свойством Р. В этой аксиоме за Рможет быть принято любое мыслимое свойство натуральных чисел. В соответствующей аксиоме формальной А. за Рможет быть принято лишь такое свойство натуральных чисел, к-рое выразимо средствами данного формализма. Различие между этими аксиомами незаметно, пока речь идет о теоремах элементарной теории чисел, и весьма существенно, когда выясняются свойства формальной теории. К. Гёдель показал также, что в непротиворечивой формальной системе, включающей формальную А., содержится формула, выражающая ее непротиворечивость, и что эта формула недоказуема в этой системе. Следовательно, непротиворечивость такой формальной системы может быть обоснована только средствами более сильными, чем те, к-рые формализованы в данной системе.

В 1936 Г. Генцен (G. Gentzen) получил доказательство непротиворечивости формальной А., использующее трансфннитную индукцию до трансфинитного числа . Естественно возникает вопрос о непротиворечивости тех средств, к-рые при этом были использованы. В связи с характером используемых средств рассматривались п другие подходы к проблеме непротиворечивости А. натуральных чисел.

Попытки преодоления трудностей, связанных с обоснованием теории действительных чисел, послужили одним из источников развития конструктивного направления в математике.

Лит.:[1] История математики, т. 1-3, М., 1970-72; [2] Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959; [3] Клини С. К., Математическая логика, пер. с англ., М., 1973; [4] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.-Л., 1948, с. 315-99; [5] Энциклопедия элементарной математики, кн. 1 - Арифметика, М.-Л., 1951; (6] Молодший В. Н.. Основы учения о числе в XVIII и начале XIX века, М., 1963; [7] Нечаев В. И., Числовые системы, М., 1975. А. А. Бухштаб, В. И. Нечаев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

dic.academic.ru

Что такое арифметика? Ментальная арифметика для детей :: SYL.ru

Наверняка в последнее время многие слышали о ментальной арифметике. Практически в каждом городе открываются кружки, на занятиях в которых детей обучают особому способу складывать, умножать, делить и вычитать порой огромные цифры. Но не каждый знает о методах вычисления и истории возникновения этой науки. В статье рассмотрим, что такое арифметика.

Описание арифметики

Арифметика - это раздел математики, который изучает числа, их свойства и взаимосвязь. Наука исследует измерения, вычислительные процессы, приемы счета. Это одна из древнейших частей математических наук, она тесно сопряжена с алгеброй и геометрией. Каждый ребенок в школьной программе обучения получает базовые знания о том, что такое арифметика.

Древние ученые с помощью чисел пытались объяснить все происходящие в мире явления и закономерности. С развитием цивилизации открывались новые законы арифметики, проводились открытия, совершенствовалась система счета.

Ментальная арифметика - что это?

Это наука, зародившаяся в Японии в V веке до н. э. Она обучает детей от 4 до 12 лет особому методу счета в уме, начиная с единиц и заканчивая пятизначными цифрами. Помимо математических способностей, занятия стимулируют развитие межполушарного взаимодействия и аналитического мышления, улучшают логику, концентрацию внимания, усидчивость, фантазию.

На начальных этапах обучения дети проводят расчеты на абакусе, ментальная арифметика на более продвинутой ступени требует проведения расчетов в уме.

Преимущества и недостатки

Многие родители интересуются, что это за предмет и стоит ли обучать этому детей. Для ответа на вопрос стоит оценить плюсы и минусы дисциплины.

Неоспоримые преимущества домашних занятий по ментальной арифметике - это:

  • отсутствие стресса у ребенка, занятия проводятся в спокойной игровой форме;
  • при планировании урока учитываются личные особенности ребенка;
  • экономия времени и средств;
  • саморазвитие для родителей и детей.

В качестве недостатков стоит отметить:

  • отсутствие педагогического опыта у родителей;
  • недостаточное количество необходимой информации, как правило, педагоги скрывают тонкости преподносимой информации, а книги по ментальной арифметике не всегда возможно приобрести.

На домашнее обучение малоизвестной науке довольно сложно решиться, определяющими факторами здесь должны быть наличие хорошей методологической подготовки родителей, желание, время и дидактический материал.

Что такое абакус?

Абакус - это особые счеты, они облегчают обучение арифметике на начальном этапе. Выглядят они как привычный для нас прибор, только в перевернутом виде и с меньшим количеством бусин. В переводе на японский язык "абакус" звучит как "соробан". Он состоит из деревянной рамки и спиц с надетыми на них бусинами.

Счетная часть разделена на две, одну большего и другую, соответственно, меньшего размера:

  1. Верхний блок состоит из одной костяшки на каждой спице, называют их "братья". Каждый ряд равен 5.
  2. Нижний блок состоит из четырех костяшек на каждой спице, называют их "друзья". Каждый ряд равен 1 и имеет разряд цифр.

Начинают отсчет на абакусе в ментальной арифметике справа налево: единицы, десятки, сотни, тысячи и так далее. Во время счета разделительная полоса располагается сверху, горизонтально. Чтобы указать число, бусины поднимают вверх, если все костяшки находятся внизу, это число – 0.

Разобраться в этом приборе тяжело только теоретически, на практике же достаточно выставить несколько чисел, чтобы понять принцип работы с ним.

Подготовка к занятиям

Соблюдая все этапы подготовки к домашним занятиям, можно сделать процесс обучения ментальной арифметике для детей более продуктивным и интересным:

  1. Следует пройти азы предмета самостоятельно, усвоить и закрепить материал с помощью самоучителя.
  2. Необходимо приобрести счеты, обучающие пособия и книги.
  3. Желательно составить детальный план освоения программы на ближайшие 2 месяца.
  4. С первого же занятия ученик должен иметь возможность познакомиться с абакусом, потрогать, изучить.
  5. Не лишним будет посмотреть вместе с ребенком видеоурок о принципах ментальной арифметики для детей, о том, как складывать числа на абакусе.
  6. В тетради на каждом занятии следует зарисовывать схемы и комбинации чисел.
  7. Счет должен осуществляться большим и указательным пальцем.
  8. После освоения принципов работы приступают к складыванию простейших чисел.
  9. Не нужно торопиться. Начальный этап нужно как следует закрепить, только потом можно приступать к более сложному уровню.
  10. К вычитанию переходят после решения примеров сложения «на автомате».
  11. Уроки должны проводиться согласно расписанию, не следует переносить или пропускать намеченные занятия.
  12. В среднем урок ментальной арифметики длится около 30 мин.
  13. Необходимо уделять счету на пальцах по 10 мин. на каждом занятии.
  14. При составлении плана обязательно учитывать возраст ребенка и его математические способности.
  15. Умножение и деление проводятся на более сложных этапах.
  16. Самая продвинутая ступень – это визуализация, то есть счет без абакуса.

Сложение и вычитание

В ментальной арифметике только после того, как ребенок научился откладывать числа на абакусе и освоил принципы работы, можно приступать к сложению простых чисел.

Для начала нужно скачать примеры с Интернета, решить их и затем предложить ребенку попробовать самостоятельно сложить числа. Если в нижнем блоке недостаточно костей, необходимо использовать верхний блок – братья. В качестве подсказок всегда можно обратиться к видеоурокам.

Вычитать цифры на абакусе тоже довольно просто. Для начала нужно ознакомиться с дидактическим материалом, что такое арифметика, посмотреть соответствующее видео. Начать лучше с объяснения принципов вычитания:

  • счет начинают с большего разряда цифр (в трех- и двухзначных числах - это сотни и десятки соответственно).
  • нельзя забывать о верхнем ряде бусин.

Для облегчения счета можно распечатать схемы расчетов и пользоваться ими во время занятий, после усвоения принципов ребенок научится решать примеры без подсказок.

Умножение и деление на абакусе

Изучение основ умножения на этом приспособлении потребует больше усердия, нежели решение примеров на сложение и вычитание. Начинают умножать с больших чисел, постепенно двигаясь к меньшим значениям.

Изначально нужно освоить технику самостоятельно и только потом в более понятной форме преподавать арифметику для детей. Чтобы новый материал легче запоминался, необходимо проводить регулярные занятия, иначе полученный прогресс будет упущен, и придется начинать все сначала.

После тщательного изучения умножения можно переходить к делению. Принципы работы здесь такие:

  1. Расчетное поле мысленно делят пополам по ширине. Одна часть для - знаменателя, другая - для ответа.
  2. Цифра для деления находится справа, соответственно, ответ - слева.
  3. Итог деления пишется в крайнем столбце.

Первое время результат деления можно проверять с помощью калькулятора.

Считаем без абакуса

Заключительный этап обучения ментальной арифметике – это счет на пальцах без использования абакуса. Научить этому способу можно, начиная с элементарных упражнений. Счет на пальцах выполняют следующим образом:

  1. Мысленно представляют руку в роли абакуса.
  2. Пальцы левой руки – числа, кратные 10, большой палец равен 50.
  3. Пальцы правой руки - это единицы от 1 до 9, большой палец равен 5.
  4. Сжатые пальцы - это 0.

Именно к этому результату должно привести обучение данной дисциплине. Ребенок без использования в ментальной арифметике абакуса, калькулятора, ручки с бумагой должен уметь решать задачи из простых и сложных чисел. Со временем движения пальцами становятся автоматическими и вычисления производятся практически моментально.

Учебники по простой и ментальной арифметике

Обучение прогрессивным методикам невозможно без подбора соответствующей литературы. Ниже представлен перечень самых популярных книг, которые написаны просто и понятно:

  • «Матемагия. Секреты ментальной математики», автор Артур Бенджамин. После прочтения пособия родителям становятся более понятными методы работы с ребенком. Автор раскрывает некоторые математические хитрости, позволяющие научиться считать быстро и точно.
  • Решебник «Математика. Арифметика. Геометрия» Бунимович Е. А. В пособии представлены примеры решений домашних заданий в доступной форме.
  • Блокнот-тренажер. «Не ментальная арифметика», автор Шамиль Ахмадуллин. По утверждению автора, следуя его методике, можно научить ребенка самостоятельному счету за 21 день. В книге есть теоретическая информация и пробные задания. Книга рассчитана на детей 8-12 лет.
  • «Ментальная арифметика. Сложение и вычитание», автор С. Эрташ. Книга совмещает в себе тренажер и дидактический материал. В пособии доступно разъяснены принципы быстрого счета, и содержится много полезной информации для детей и родителей.
  • «Ментальная арифметика. Знакомство», авторы Р. Багаутдинов, Р. Ганиев. Данная книга предназначена для обучения детей с 5 лет. Здесь представлено множество иллюстраций с формулами вычитания и сложения, что дает возможность ребенку воспринимать информацию не только устно, но и зрительно.

В статье рассмотрено, что такое арифметика, ее подраздел, которому обучают японских детей. При желании эту технику счета может постичь любой человек.

www.syl.ru

Понятие арифметики. Арифметические действия | matematicus.ru

 Арифметика (от греч. .«аритмос» или «арифмос» — число ) — это наука о числах и входит в раздел математики. В арифметике изучаются простейшие свойства чисел и правила вычислений.

Простым числом называют натуральное число, которое имеет два делителя — единицу и само себя. Например, 5, 7, 11, 13. Таблица простых чисел.

Составным числом называют натуральное число, которое имеет более двух делителей. Например, 9, 10, 16, 100. Любое составное число можно представить единственным способом в виде произведения простых множителей. Например, 20 = 2·2·5.

2; 4; 6; 8; 10; 12 … – четные числа.
1; 3; 5; 7; 9; 11 … – нечетные числа.

1.Сложение

a + b = c

  a и b — слагаемые, c — сумма.


2. Вычитание

a — b = c

a — уменьшаемое, 

b — вычитаемое, 

c — разность. 


3. Умножение

a · b = c

a — множимое,

— множитель,

c — произведение.

Замечание

Если множимое и множитель поменять местами, то произведение останется тем же. Также множитель и множимое называются «сомножителями».


4. Деление

a : b = c

a — делимое, 

b — делитель, 

c — частное.

 
Если делимое не делится нацело на делитель, то такое деление называют деление с остатком


5. Возведение в степень.

ab = c

a — основание степени, b — показатель степени, c — степень; 34 = 3*3*3*3.

Замечание

Вторая степень называется квадратом, а третья степень — кубом.


6. Извлечение корня.

a — подкоренное число, 

b — показатель корня,

c — корень

Замечание

Корень второй степени называется квадратным, а корень третьей степени — кубичным.

Замечание

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня попарно являются обратными действиями.  


Сложение.  

    a + 0 = a 

Вычитание. 

a — 0 = a 

Умножение. 

a · 0 = a 

  Деление. 

    0 : a = a 

Замечание

Частное от деления нуля на нуль неопределенно. В подобных случаях рассматривают «раскрытие неопределенности 0:0» 

Замечание

Частное от деления любого числа, отличного от нуля, на нуль не определенно или не существует. Также записывают как бесконечно большое число, т.е.  a:0 = ∞


Первое арифметическое действие всегда выполняется в скобках слева направо.

Если выражение без скобок, то сначала выполняются действия умножения или деления, затем сложения или вычитания.

Арифметические действия с дробями см. здесь

www.matematicus.ru

Что такое арифметика? Основная теорема арифметики. Двоичная арифметика

Что такое арифметика? Когда человечество начало использовать числа и работать с ними? Куда уходят корни таких обыденных понятий, как числа, дроби, вычитание, сложение и умножение, которые человек сделал неотделимой частью своей жизни и мировоззрения? Древнегреческие умы восхищались такими науками, как математика, арифметика и геометрия, как прекраснейшими симфониями человеческой логики.

Возможно, арифметика не так глубока, как другие науки, но что было бы с ними, забудь человек элементарную таблицу умножения? Привычное нам логическое мышление, использующие цифры, дроби и другие инструменты, нелегко давалось людям и долгое время было недоступно для наших предков. Фактически до развития арифметики ни одна область человеческого знания не была по-настоящему научной.

Арифметика - это азбука математики

Арифметика – это наука о числах, с которой любой человек начинает знакомство с увлекательным миром математики. Как говорил М. В. Ломоносов, арифметика – это врата учености, открывающие нам путь к миропознанию. А ведь он прав, разве познание мира можно отделить от знания цифр и букв, математики и речи? Возможно, в былые времена, но не в современном мире, где бурное развитие науки и техники диктует свои законы.

Слово "арифметика" (греч. "арифмос") греческого происхождения, обозначает "число". Она изучает число и все что может быть с ними связано. Это мир чисел: различные действия над числами, числовые правила, решение задач, которые связаны с умножением, вычитанием и т. д.

Общепринято считать, что арифметика является начальной ступенькой математики и твердой основой для более сложных ее разделов, таких, как алгебра, матанализ, высшая математика и т. д.

Основной объект арифметики

Основа арифметики – это целое число, свойства и закономерности которого рассматриваются в высшей арифметике или теории чисел. По сути, от того, насколько верный подход взят в рассмотрении такого небольшого блока, как натуральное число, зависит прочность всего здания – математики.

Поэтому на вопрос о том, что такое арифметика, можно ответить просто: это наука о числах. Да, о привычной семерке, девятке и всем этом разнообразном сообществе. И подобно тому, как и хороших, и самых посредственных стихов не напишешь без элементарной азбуки, без арифметики не решить даже элементарной задачи. Вот почему все науки продвинулись только после развития арифметики и математики, будучи до этого всего лишь набором предположений.

Арифметика - наука-фантом

Что такое арифметика - натуральная наука или фантом? На самом деле, как рассуждали древнегреческие философы, ни чисел, ни фигур в реальности не существует. Это всего лишь фантом, который создается в человеческом мышлении при рассматривании окружающей среды с ее процессами. В самом деле, что такое число? Нигде вокруг мы не видим ничего подобного, что можно было бы назвать числом, скорее, число - это способ человеческого разума изучать мир. А может быть, это изучение нас самих изнутри? Об этом спорят философы много веков подряд, поэтому дать исчерпывающий ответ мы не беремся. Так или иначе, арифметике удалось настолько прочно занять свои позиции, что в современном мире никто не может считаться социально адаптированным без знания ее основ.

Как появилось натуральное число

Конечно, основной объект, которым оперирует арифметика, – натуральное число, такое, как 1, 2, 3, 4, …, 152... и т.д. Арифметика натуральных чисел является результатом счета обычных предметов, например, коров на лугу. Все-таки определение "много" или "мало" когда-то перестало устраивать людей, и пришлось изобретать более совершенные техники счета.

Но настоящий прорыв случился, когда человеческая мысль дошла до того, что можно одним и тем же числом «два» обозначить и 2 килограмма, и 2 кирпича, и 2 детали. Дело в том, что нужно абстрагироваться от форм, свойств и смысла предметов, тогда можно производить некоторые действия с этими предметами в виде натуральных чисел. Так родилась арифметика чисел, которая дальше развивалась и ширилась, занимая все большие позиции в жизни общества.

Такие углубленные понятия числа, как ноль и отрицательное число, дроби, обозначения чисел цифрами и другими способами, имеют богатейшую и интереснейшую историю развития.

Арифметика и практичные египтяне

Два древнейших спутника человека в исследовании окружающего мира и решении бытовых задач – это арифметика и геометрия.

Считается, что история арифметики берет свое начало на Древнем Востоке: в Индии, Египте, Вавилоне и Китае. Так, папирус Ринда египетского происхождения (назван так, поскольку принадлежал одноименному владельцу), датируемый XX в. до н.э, кроме других ценных данных содержит разложение одной дроби на сумму дробей с разными знаменателями и числителем, равным единице.

Например: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.

Но в чем смысл такого сложного разложения? Дело в том, что египетский подход не терпел абстрагированных размышлений о числах, наоборот, вычисления производились только с практической целью. То есть египтянин станет заниматься таким делом, как расчеты, исключительно для того, чтобы построить гробницу, например. Нужно было высчитать длину ребра сооружения, и это заставляло садиться человека за папирус. Как видно, египетский прогресс в расчетах был вызван, скорее массовым, строительством, нежели любовью к науке.

По этой причине расчеты, найденные на папирусах, нельзя назвать размышлениями на тему дробей. Скорее всего, это практическая заготовка, которая помогала в дальнейшем решать задачи с дробями. Древние египтяне, не знавшие таблицы умножения, производили довольно длинные вычисления, разложенные на множество подзадач. Возможно, это одна из таковых подзадач. Нетрудно заметить, что расчеты с такими заготовками весьма трудоемки и малоперспективны. Может быть, по этой причине мы не видим большого вклада Древнего Египта в развитие математики.

Древняя Греция и философская арифметика

Многие знания Древнего Востока были успешно освоены древними греками, известными любителями отвлеченных, абстрактных и философских размышлений. Практика их интересовала не меньше, но лучших теоретиков и мыслителей найти сложно. Это пошло на пользу науке, поскольку в арифметику невозможно углубиться, не разорвав ее с реальностью. Конечно, можно умножать 10 коров и 100 литров молока, но далеко продвинуться не удастся.

Мыслящие глубоко греки оставили значительный след в истории, и их труды дошли до нас:

  • Евклид и «Начала».
  • Пифагор.
  • Архимед.
  • Эратосфен.
  • Зенон.
  • Анаксагор.

И, конечно, превращающие все в философию греки, а особенно продолжатели дела Пифагора, настолько были увлечены числами, что считали их таинством гармонии мира. Числа настолько были изучены и исследованы, что некоторым из них и их парам приписывали особые свойства. Например:

  • Совершенные числа - те, которые равны сумме всех своих делителей, кроме самого числа (6=1+2+3).
  • Дружественные числа - это такие числа, одно из которых равно сумме всех делителей второго, и наоборот (пифагорейцы знали только одну такую пару: 220 и 284).

Греки, считавшие, что науку нужно любить, а не быть с ней ради выгоды, достигли больших успехов, исследуя, играя и складывая числа. Нужно отметить, что не все их изыскания нашли широкое применение, некоторые из них остались лишь "для красоты".

Восточные мыслители Средневековья

Точно так же и в Средние века арифметика своим развитием обязана восточным современникам. Индийцы передали нам цифры, которые мы активно используем, такое понятие как "нуль", и позиционный вариант системы исчисления, привычный современному восприятию. От Аль-каши, который в 15 веке работал в Самарканде, мы унаследовали десятичные дроби, без которых трудно представить современную арифметику.

Во многом знакомство Европы с достижениями Востока стало возможно благодаря труду итальянского ученого Леонардо Фибоначчи, который написал произведение "Книга абака", знакомящее с восточными новшествами. Оно стало краеугольным камнем развития алгебры и арифметики, исследовательской и научной деятельности в Европе.

Российская арифметика

И, наконец, арифметика, нашедшая свое место и укоренившаяся в Европе, стала распространяться и на русские земли. Первая русская арифметика вышла в 1703 году – это была книга об арифметике Леонтия Магницкого. Долгое время она оставалась единственным учебным руководством по математике. Она содержит начальные моменты алгебры и геометрии. Цифры, которые использовал в примерах первый в России учебник арифметики, арабские. Хотя арабские цифры встречались и ранее, на гравюрах, датирующихся 17 веком.

Сама книга украшена изображениями Архимеда и Пифагора, а на первом листе - образ арифметики в виде женщины. Она сидит на престоле, под ней написано на иврите слово, обозначающее имя Бога, а на ступенях, которые ведут к престолу, начертаны слова «деление», «умножение», «сложение» и т. д. Можно только представить, какое значение предавали таким истинам, которые сейчас считаются обыденным явлением.

Учебник из 600 страниц описывает как основы вроде таблицы сложения и умножения, так и приложения к навигационным наукам.

Не удивительно, что автор выбрал изображения греческих мыслителей для своей книги, ведь он и сам был пленен красотой арифметики, говоря: «Арифметика есть числительница, есть художество честное, независтное… ». Такой подход к арифметике вполне обоснован, ведь именно ее повсеместное внедрение можно считать началом бурного развития научной мысли в России и общего образования.

Непростые простые числа

Простое число – это такое натуральное число, которое имеет только 2 положительных делителя: 1 и само себя. Все остальные числа, не считая 1, называют составными. Примеры простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, и все другие, которые не имеют прочих делителей, кроме числа 1 и себя самого.

Что же касается числа 1, то оно на особом счету – существует уговор, что его нужно считать ни простым, ни составным. Простое на первый взгляд простое число таит множество неразгаданных тайн внутри себя.

Теорема Евклида говорит, что простых чисел бесконечное множество, а Эратосфен придумал специальное арифметическое «решето», которое отсеивает непростые числа, оставляя только простые.

Ее суть в том чтобы подчеркивать первое невычеркнутое число, а в последующем вычеркивать те, которые ему кратны. Многократно повторяем эту процедуру - и получаем таблицу простых чисел.

Основная теорема арифметики

Среди наблюдений о простых числах нужно особым образом упомянуть основную теорему арифметики.

Основная теорема арифметики гласит, что любое целое число, большее 1, либо является простым, либо его можно разложить на произведение простых чисел с точностью до порядка следования сомножителей, причем единственным образом.

Основная теорема арифметики доказывается достаточно громоздко, да и понимание ее уже не похоже на простейшие основы.

На первый взгляд простые числа - элементарное понятие, однако это не так. Физика также некогда считала атом элементарным, пока не нашла внутри него целую вселенную. Простым числам посвящен прекрасный рассказ математика Дона Цагира «Первые пятьдесят миллионов простых чисел».

От «трех яблочек» до дедуктивных законов

Что поистине можно назвать армированным фундаментом всей науки – это законы арифметики. Еще в детстве все сталкиваются с арифметикой, изучая количество ножек и ручек у кукол, количество кубиков, яблочек и т. д. Так мы изучаем арифметику, которая дальше переходит в более сложные правила.

Вся наша жизнь знакомит нас с правилами арифметики, которые стали для простого человека наиболее полезными из всего, что дает наука. Изучение чисел - это "арифметика-малышка", которая знакомит человека с миром чисел в виде цифр еще в раннем детстве.

Высшая арифметика - дедуктивная наука, которая изучает законы арифметики. Большинство из них нам известно, хотя, возможно, мы и не знаем их точных формулировок.

Закон сложения и умножения

Два любых натуральных числа a и b могут быть выражены в виде суммы a+b, которая также будет числом натуральным. Касательно сложения действуют следующие законы:

  • Коммутативный, который говорит, что от перестановки слагаемых местами сумма не изменяется, или a+b= b+a.
  • Ассоциативный, который говорит, что сумма не зависит от способа группировки слагаемых местами, или a+(b+c)= (a+ b)+ c.

Правила арифметики, такие, как сложение, - одни из элементарных, но их используют все науки, не говоря уже о повседневной жизни.

Два любых натуральных числа a и b могут быть выражены в произведении a*b или a*b, которое также является числом натуральным. К произведению применимы те же коммутативные и ассоциативные законы, что и к сложению:

  • a*b= b* a;
  • a*(b*c)= (a* b)* c.

Интересно, что существует закон, который объединяет сложение и умножение, называемый также распределительным, или дистрибутивным законом:

a(b+c)= ab+ac

Этот закон фактически учит нас работать со скобками, раскрывая их, тем самым мы можем работать уже с более сложными формулами. Это именно те законы, которые будут вести нас по причудливому и непростому миру алгебры.

Закон арифметического порядка

Закон порядка человеческая логика использует каждый день, сверяя часы и считая купюры. И, тем не менее, и его нужно оформить в виде конкретных формулировок.

Если мы имеем два натуральных числа a и b, то возможны следующие варианты:

  • a равно b, или a=b;
  • a меньше b, или a < b;
  • a больше b, или a > b.

Из трех вариантов справедливым может быть только один. Основной закон, который управляет порядком, говорит: если a < b и b < c, то a< c.

Существуют также и законы, связывающие порядок с действиями умножения и сложения: если a< b, то a + c < b+c и ac< bc.

Законы арифметики учат нас работать с числами, знаками и скобками, превращая все в стройную симфонию чисел.

Позиционные и непозиционные системы исчисления

Можно сказать, что числа – это математический язык, от удобства которого зависит многое. Существует множество систем исчисления, которые, как и алфавиты разных языков, отличаются между собой.

Рассмотрим системы счисления с точки зрения влияния позиции на количественное значение цифры на этой позиции. Так, например, римская система является непозиционной, где каждое число кодируется определенным набором специальных символов: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Они равны, соответственно, числам 1/ 5/10/50/100/500/1000. В такой системе цифра не изменяет своего количественного определения в зависимости от того, на какой она стоит позиции: первой, второй и т. д. Чтобы получить другие числа, нужно сложить базовые. Например:

Более привычная для нас система счисления с использованием арабских цифр является позиционной. В такой системе разряд числа определяет количество цифр, например, трехразрядные числа: 333, 567 и т.д. Вес любого разряда зависит от позиции, на которой находится та или иная цифра, например цифра 8 на второй позиции имеет значение 80. Это характерно для десятичной системы, существуют и другие позиционные системы, например двоичная.

Двоичная арифметика

Нам знакома десятичная система исчисления, состоящая из одноразрядных чисел и многоразрядных. Цифра слева у многоразрядного числа в десять раз больше по значимости той, которая справа. Так, мы привыкли читать 2, 17, 467 и т. д. Совершенно другая логика и подход у раздела, который носит название "двоичная арифметика". Это и неудивительно, ведь двоичная арифметика создана не для человеческой логики, а для компьютерной. Если арифметика чисел произошла от счета предметов, что в дальнейшем абстрагировалось от свойств предмета к "голой" арифметике, то с компьютером такое не пройдет. Чтобы можно было поделиться своими знаниями с ЭВМ, человеку пришлось изобрести такую модель исчисления.

Двоичная арифметика работает с двоичным алфавитом, который состоит всего из 0 и 1. А использование этого алфавита называется двоичной системой исчисления.

Отличие двоичной арифметики от десятичной в том, что значимость позиции слева больше не в 10, а в 2 раза. Двоичные числа имеют вид 111, 1001 и т. д. Как понимать такие числа? Итак, рассмотрим число 1100:

  1. Первая цифра слева - 1*8=8, помня о том, что четвертая цифра, а значит, ее нужно умножить на 2, получаем позицию 8.
  2. Вторая цифра 1*4=4 (позиция 4).
  3. Третья цифра 0*2=0 (позиция 2).
  4. Четвертая цифра 0*1=0 (позиция 1).
  5. Итак, наше число 1100=8+4+0+0=12.

То есть при переходе на новый разряд слева его значимость в двоичной системе умножается на 2, а в десятичной - на 10. Такая система имеет один минус: это слишком большой рост разрядов, которые необходимы для записи чисел. Примеры представления десятичных чисел в виде двочиных можно посмотреть в следующей таблице.

Десятичные числа в двоичном виде изображены ниже.

Используются также и восьмеричная, и шестнадцатеричная системы исчисления.

Эта загадочная арифметика

Что такое арифметика, «дважды два» или неизведанные тайны чисел? Как видим, арифметика, может, и кажется на первый взгляд простой, но ее неочевидная легкость обманчива. Ее можно изучать и детям вместе с тетушкой Совой из мультика «Арифметика-малышка», а можно погрузиться в глубоко научные изыскания чуть ли не философского порядка. В истории она прошла путь от счета предметов до поклонения красоте чисел. Одно только точно известно: с установлением основных постулатов арифметики вся наука может опираться на ее крепкое плечо.

fb.ru

Изучаем арифметику онлайн, математические игры и упрощенные приемы

Что такое арифметика? Арифметика – раздел математики, работающий с числами и вычислениями (действиями с числами).

Арифметику начинают изучать в начальной школе, потому что это основа математики, там изучаются основные операции с числами: сложение, вычитание, умножение, деление.

Арифметика – самый основной, базовый раздел математики. Возникновению она обязана потребностям людей в счете.

Ментальная арифметика

Что называется ментальной арифметикой? Ментальная арифметика – это метод обучения быстрому счету, пришедший из древности.

В настоящее время, в отличии от предыдущего, преподаватели стараются не только обучить детей скорости счета, но и стараются развить мышление.

Сам процесс обучения строится на использовании и развитии обоих полушарий мозга. Главное – уметь их использовать вместе, потому что они дополняют друг друга.

Действительно, левое полушарие отвечает за логику, речь и рациональность, а правое – за воображение.

В программу обучения входит обучение работы и использование такого инструмента, как абакус.

Абакус – главный инструмент в изучении ментальной арифметики, потому что ученики учатся работать с ними, перебирать костяшки и осознавать суть счета. Со временем абакус стает вашим воображением, а обучаемые представляют их, опираются на эти знания и решают примеры.

Отзывы о данных методах обучения весьма положительные. Есть один минус – обучение платное, а его позволить могут не все. Поэтому путь гения зависит от материального положения.


Математика и арифметика

Математика и арифметика тесно связанные понятия, а вернее арифметика – раздел математики, работающий с числами и вычислениями (действиями с числами).

Арифметика – основной раздел, а значит и основа математики. Основа математики – важнейшие понятия и операции, составляющие базу, на которой строятся все последующие знания. В число главных операций входят: сложение, вычитание, умножение, деление.

Арифметика, как правило, изучается в школе с самого начала обучения, то есть. с первого класса. Дети осваивают базу математики.

Сложение – это арифметическое действие, в процессе которого складываются два числа, а их результатом будет новое – третье.

Формула сложения выражается так: a + b = c.

Вычитание – это арифметическое действие, в процессе которого из первого числа вычитается второе число, а итогом будет третье.

Формула сложения выражается так: a - b = c.

Умножение – это действие, в итоге которого находится сумма одинаковых слагаемых.

Формула такого действия имеет вид: a1+a2+…+an=n*a.

Деление– это разбивание на равные части какого-либо числа или переменной.

Запишитесь на курс "Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика", чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.


Обучение арифметике

Обучение арифметике производится в стенах школы. С первого класса дети начинают изучение базового и главного раздела математики – арифметики.

Сложение чисел

Сложение – это сумма двух или нескольких чисел. Например, 2 + 3 = 5, и графически это можно представить так:

Большие число делиться на части, возьмем число 1234, а в нем: 4-единицы, 3-десятки, 2-сотни, 1-тысячи. Итак, если мы прибавляем 4 к 7, то 4+7=10+1, то есть 1 десяток и 1 единица. Если складывая числа в одном разряде (единицах, например) у вас число больше 10, но меньше 20, то в десяток вы добавляете единицу, а остальное оставляете на месте единиц.

Еще один пример: 8+9, получаем 10+7, значит в десятки мы добавляем 1, а на место единиц записываем 7, получаем 17.

Вычитание чисел

Вычитание – обратная операция сложению. Например, из 6 нужно вычесть 5. 6-5=1, 6 больше числа 5 на единицу, значит, и ответ будет единицей. Можно для проверки произвести сложение 1+5=6.

Большое число делится на части, возьмем число 1234, а в нем: 4-единицы, 3-десятки, 2-сотни, 1-тысячи. Если вычитать единицы, то все легко и просто. Но допустим пример: 14 - 7. В числе 14: 1 – десяток, а 4 – единицы. Один десяток – 10 единиц. Тогда получаем 10 + 4 - 7, сделаем так: 10 - 7 + 4, 10 - 7 = 3, а 3 + 4 = 7. Ответ найден верно!

Рассмотрим пример 23 - 16. Первое число 2 десятка и 3 единицы, а второе 1 десяток и 6 единиц. Представим число 23 как 10 + 10 + 3, а 16 как 10 + 6, тогда представим 23 - 16 как 10 + 10 + 3 - 10 - 6. Тогда 10 - 10 = 0, останется 10 + 3 - 6, 10 - 6 = 4, тогда 4 + 3 = 7. Ответ найден!

Аналогично делается с сотнями и тысячами/

Умножение чисел

Умножение чисел осваивается детьми во втором классе, и ничего в этом сложного нет. Сейчас мы рассмотрим умножение на примерах.

Пример 2*5. Это значит либо 2+2+2+2+2, либо 5+5. Берем 5 два раза или 2 пять раз. Ответ, соответственно, 10.

Пример 4*3. Аналогично, 4+4+4 или 3+3+3+3. Три раза по 4 или четыре раза по 3. Ответ 12.

Пример 5*3. Делаем так же как и предыдущие примеры. 5+5+5 или 3+3+3+3+3. Ответ 15.

Деление чисел

Деление – это разбивание на равные части чего-либо. То есть это может быть пакет конфет, который нужно разбить на равные части. Например, в пакетике 9 конфет, а человек которые хотят их получить – три. Тогда нужно разделить эти 9 конфет на трех человек.

Записывается это так: 9:3, ответом будет цифра 3. То есть деление числа 9 на число 3 показывает количество чисел три содержащихся в числе 9. Обратным действием, проверочным, будет умножение. 3*3=9. Верно? Абсолютно.

Поделим 12 на 6, ответом будет число 2. Проверить решение можно умножением: 2*6=12. Получается, что число 6 содержится 2 раза в числе 12.

Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика

Научитесь быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.


Правила арифметики

Порядок выполнения операций в выражении – очень важен!

Если пример имеет вид 2+3-4, то порядок в нем может быть каким угодно. Потому что операции сложения и вычитания имеют одинаковый приоритет. Если выполним сначала сложение, то получим: 5-4=1, а если сначала вычитание, то: 2-1=1. Как видите результат одинаковый.

Аналогично с выражением умножения и деления. Операции умножения и деления имеют одинаковый приоритет. Например, 28:4. Выполним сначала умножение: 16:4=4, а если деление: 22=4.

Порядок имеет смысл, когда в выражении смешиваются операции сложения или вычитания, с операциями умножения или деления. Например:

2+22. Первым действием выполняются ВСЕ операции умножения и деления, а только потом сложения и вычитания. То есть выражение 2+22 = 2+4=6.

Но в выражениях присутствуют скобки. Скобки имеют свойство менять порядок операций. Рассмотрим предыдущий пример, только со скобками: (2+2)*2. В таком случае сначала выполняются операции в скобках, а затем вне скобок в порядке: 1. Умножение и деление 2. Сложение и вычитание.

Так, (2+2)2=42=8.

Как вы могли убедиться на примерах, скобки имеют роль. И порядок операций так же.

Уроки арифметики

Уроки арифметики – школьные уроки, вплоть до шестого класса. Дальше математика открывает свои разделы: геометрия и алгебра, а позже и тригонометрия.

Подробно об операциях вы можете прочитать в наших статьях:

  1. сложение

  2. вычитание

  3. умножение

  4. деление

Арифметика 5 класс

В пятом классе школьник начинают изучение таких тем как: дробные числа, смешанные числа. Информацию про операции с этими числами вы можете найти в наших статьях по соответствующим операциям.

Дробное число – это отношение двух чисел друг к другу или же числителя к знаменателю. Дробное число можно заменить операцией деления. Например, ¼ = 1:4.

Смешанное число – это дробное число, только с выделенной целой частью. Целая часть выделяется при условии, что числитель больше знаменателя. Например, была дробь: 5/4, ее можно преобразовать, путем выделения целой части: 1целая и ¼.

Примеры для тренировки:

Задание №1:

Задание №2:

Арифметика 6 класс

В 6ом классе появляется тема преобразования дробей в строчную запись. Что это значит? Например, дана дробь ½, она будет равна 0,5. ¼ = 0.25.

Примеры могут составляться в таком стиле: 0.25+0.73+12/31.

Примеры для тренировки:

Задание №1:

Задание №2:

Игры для развития устного счета и скорости счета

Существуют прекрасные игры, способствующие развитию счета, помогающие развивать математические способности и математическое мышление, устный счет и скорость счета! Можно играть и развиваться! Вам интересно? Прочтите краткие статьи об играх и обязательно попробуйте себя.

Игра «Быстрый счет»

Игра «быстрый счет» поможет вам ускорить устный счет. Суть игры в том, что на представленной вам картинке, потребуется выбрать ответ да или нет на вопрос «есть ли 5 одинаковых фруктов?». Идите за своей целью, а поможет вам в этом данная игра.

Играть сейчас

Игра «Математические сравнения»

Игра «Математические сравнения» потребует от вас сравнения двух чисел на время. То есть вам предстоит выбрать как можно быстрее одно из двух чисел. Помните, что время ограничено, а чем больше вы ответите верно, тем лучше будут развиваться ваши математические способности! Попробуем?

Играть сейчас

Игра «Быстрое сложение»

Игра «Быстрое сложение» - отличный тренажер быстрого счета. Суть игры: дано поле 4x4, то есть. 16 чисел, а над полем семнадцатое число. Ваша цель: при помощи шестнадцати чисел составить 17, пользуясь операцией сложения. Например, над полем у вас написано число 28, то в поле вам надо найти 2 таких числа, которые в сумме дадут число 28. Вы готовы попробовать свои силы? Тогда вперед, тренироваться!

Играть сейчас

Развитие феноменального устного счета

Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше - записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет - НЕ ментальная арифметика.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.


Скорочтение за 30 дней

Увеличьте скорость чтения в 2-3 раза за 30 дней. Со 150-200 до 300-600 слов в минуту или с 400 до 800-1200 слов в минуту. В курсе используются традиционные упражнения для развития скорочтения, техники ускоряющие работу мозга, методика прогрессивного увеличения скорости чтения, разбирается психология скорочтения и вопросы участников курса. Подходит детям и взрослым, читающим до 5000 слов в минуту.


Развитие памяти и внимания у ребенка 5-10 лет

Цель курса: развить память и внимание у ребенка так, чтобы ему было легче учиться в школе, чтобы он мог лучше запоминать.

После прохождения курса ребенок сможет:

  1. В 2-5 раз лучше запоминать тексты, лица, цифры, слова
  2. Научится запоминать на более длительный срок
  3. Увеличится скорость воспоминания нужной информации


Супер-память за 30 дней

Запоминайте нужную информацию быстро и надолго. Задумываетесь, как открывать дверь или помыть голову? Уверен, что нет, ведь это часть нашей жизни. Легкие и простые упражнения для тренировки памяти можно сделать частью жизни и выполнять понемногу среди дня. Если съесть суточную норму еды за раз, а можно есть порциями в течение дня.


Как улучшить память и развить внимание

Бесплатное практическое занятие от advance.


Секреты фитнеса мозга, тренируем память, внимание, мышление, счет

Мозгу, как и телу нужен фитнес. Физические упражнения укрепляют тело, умственные развивают мозг. 30 дней полезных упражнений и развивающих игр на развитие памяти, концентрации внимания, сообразительности и скорочтения укрепят мозг, превратив его в крепкий орешек.


Деньги и мышление миллионера

Почему бывают проблемы с деньгами? В этом курсе мы подробно ответим на этот вопрос, заглянем вглубь проблемы, рассмотрим наши взаимоотношения с деньгами с психологической, экономической и эмоциональных точек зрения. Из курса Вы узнаете, что нужно делать, чтобы решить все свои финансовые проблемы, начать накапливать деньги и в дальнейшем инвестировать их.

Знание психологии денег и способов работы с ними делает человека миллионером. 80% людей при увеличении д

cepia.ru

Универсальная арифметика - это... Что такое Универсальная арифметика?

Латинское издание (1707) Английское издание (1720)

«Универсальная арифметика» (или «Всеобщая арифметика», лат. Arithmetica Universalis) — монография Исаака Ньютона, впервые опубликованная в 1707 году на латинском языке. Универсальной арифметикой Ньютон называл алгебру, и данный труд внёс существенный вклад в развитие этого раздела математики. Позднее книгу под таким же названием опубликовал Эйлер в 1768—1769 годах.

История создания

Среди курсов, которые вёл в Тринити-колледже Исаак Ньютон, был курс алгебры, и согласно правилам Ньютон сдал в университетскую библиотеку аккуратно оформленный латинский конспект этих лекций[1]. После ухода Ньютона от преподавательской деятельности его преемник на кафедре, Уильям Уинстон опубликовал эту рукопись под названием «Универсальная арифметика». К первому изданию был приложен мемуар Галлея о численном методе нахождения корней уравнений. Книга вызвала большой интерес и неоднократно переиздавалась на разных языках; в XVIII веке вышли 5 только латинских её переизданий. Каждое новое издание сопровождалось растущим число комментариев и дополнений.

Краткое содержание

В начале книги Ньютон поясняет отношение арифметики и алгебры: цель алгебры — открыть и исследовать общие законы арифметики, а также предложить практические методы решения уравнений. Далее Ньютон даёт классическое определение вещественного числа как отношения результата измерения к единичному эталону[2]:

Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу.

Оригинальный текст  (лат.)  

Per Numerum non tam multitudinem unitatum quam abstractam quantitatis cujusvis ad aliam ejusdem generis quantitattem quae pro unitate habetur rationem intelligimus.

Это определение фактически завершает многолетний процесс «уравнения в правах» целых, дробных и иррациональных чисел. В отличие от многих математиков того времени, Ньютон не рассматривал отдельно отрицательные числа и на примерах показал их полезность.

Затем излагается теория десятичных дробей, действий с ними и используемых обозначений. Ньютон в своих выкладках использовал обозначения Декарта, мало чем отличающиеся от современных. Однако, в отличие от Декарта, он полностью отделил алгебру от геометрии, подчеркнув, что при всей взаимной пользе у этих наук разные предметы.

В отдельных разделах, с многочисленными примерами и геометрическими иллюстрациями, излагаются действия с дробями, извлечение корней, типы уравнений, методы их упрощения и решения. Ньютон почти не приводит доказательств своих утверждений и основное внимание уделяет прикладным аспектам материала. Некоторые высказанные в книге глубокие теоремы удалось строго доказать только в XIX веке[1].

Особое внимание Ньютон уделил решению алгебраических уравнений, эта тема занимает почти половину книги. В ходе изложения приводятся решения 77 типовых задач (в основном геометрического характера), снабжённые подробными разъяснениями и методическими рекомендациями.

Среди других открытий Ньютона, изложенных в книге, можно упомянуть:

Перевод на русский язык

Литература

  • История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
  • Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. — М.: Наука, 1979. — С. 174-204. — 208 с. — (История науки и техники).
  • Юшкевич А. П. О «Всеобщей арифметике» И. Ньютона. // В книге: Ньютон И. Всеобщая арифметика. М.: Изд. АН СССР, 1948, стр. 347-391.

Ссылки

Примечания

med.academic.ru

Универсальная арифметика - это... Что такое Универсальная арифметика?

Латинское издание (1707) Английское издание (1720)

«Универсальная арифметика» (или «Всеобщая арифметика», лат. Arithmetica Universalis) — монография Исаака Ньютона, впервые опубликованная в 1707 году на латинском языке. Универсальной арифметикой Ньютон называл алгебру, и данный труд внёс существенный вклад в развитие этого раздела математики. Позднее книгу под таким же названием опубликовал Эйлер в 1768—1769 годах.

История создания

Среди курсов, которые вёл в Тринити-колледже Исаак Ньютон, был курс алгебры, и согласно правилам Ньютон сдал в университетскую библиотеку аккуратно оформленный латинский конспект этих лекций[1]. После ухода Ньютона от преподавательской деятельности его преемник на кафедре, Уильям Уинстон опубликовал эту рукопись под названием «Универсальная арифметика». К первому изданию был приложен мемуар Галлея о численном методе нахождения корней уравнений. Книга вызвала большой интерес и неоднократно переиздавалась на разных языках; в XVIII веке вышли 5 только латинских её переизданий. Каждое новое издание сопровождалось растущим число комментариев и дополнений.

Краткое содержание

В начале книги Ньютон поясняет отношение арифметики и алгебры: цель алгебры — открыть и исследовать общие законы арифметики, а также предложить практические методы решения уравнений. Далее Ньютон даёт классическое определение вещественного числа как отношения результата измерения к единичному эталону[2]:

Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу.

Оригинальный текст  (лат.)  

Per Numerum non tam multitudinem unitatum quam abstractam quantitatis cujusvis ad aliam ejusdem generis quantitattem quae pro unitate habetur rationem intelligimus.

Это определение фактически завершает многолетний процесс «уравнения в правах» целых, дробных и иррациональных чисел. В отличие от многих математиков того времени, Ньютон не рассматривал отдельно отрицательные числа и на примерах показал их полезность.

Затем излагается теория десятичных дробей, действий с ними и используемых обозначений. Ньютон в своих выкладках использовал обозначения Декарта, мало чем отличающиеся от современных. Однако, в отличие от Декарта, он полностью отделил алгебру от геометрии, подчеркнув, что при всей взаимной пользе у этих наук разные предметы.

В отдельных разделах, с многочисленными примерами и геометрическими иллюстрациями, излагаются действия с дробями, извлечение корней, типы уравнений, методы их упрощения и решения. Ньютон почти не приводит доказательств своих утверждений и основное внимание уделяет прикладным аспектам материала. Некоторые высказанные в книге глубокие теоремы удалось строго доказать только в XIX веке[1].

Особое внимание Ньютон уделил решению алгебраических уравнений, эта тема занимает почти половину книги. В ходе изложения приводятся решения 77 типовых задач (в основном геометрического характера), снабжённые подробными разъяснениями и методическими рекомендациями.

Среди других открытий Ньютона, изложенных в книге, можно упомянуть:

Перевод на русский язык

Литература

  • История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
  • Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. — М.: Наука, 1979. — С. 174-204. — 208 с. — (История науки и техники).
  • Юшкевич А. П. О «Всеобщей арифметике» И. Ньютона. // В книге: Ньютон И. Всеобщая арифметика. М.: Изд. АН СССР, 1948, стр. 347-391.

Ссылки

Примечания

veter.academic.ru

Универсальная арифметика - это... Что такое Универсальная арифметика?

Латинское издание (1707) Английское издание (1720)

«Универсальная арифметика» (или «Всеобщая арифметика», лат. Arithmetica Universalis) — монография Исаака Ньютона, впервые опубликованная в 1707 году на латинском языке. Универсальной арифметикой Ньютон называл алгебру, и данный труд внёс существенный вклад в развитие этого раздела математики. Позднее книгу под таким же названием опубликовал Эйлер в 1768—1769 годах.

История создания

Среди курсов, которые вёл в Тринити-колледже Исаак Ньютон, был курс алгебры, и согласно правилам Ньютон сдал в университетскую библиотеку аккуратно оформленный латинский конспект этих лекций[1]. После ухода Ньютона от преподавательской деятельности его преемник на кафедре, Уильям Уинстон опубликовал эту рукопись под названием «Универсальная арифметика». К первому изданию был приложен мемуар Галлея о численном методе нахождения корней уравнений. Книга вызвала большой интерес и неоднократно переиздавалась на разных языках; в XVIII веке вышли 5 только латинских её переизданий. Каждое новое издание сопровождалось растущим число комментариев и дополнений.

Краткое содержание

В начале книги Ньютон поясняет отношение арифметики и алгебры: цель алгебры — открыть и исследовать общие законы арифметики, а также предложить практические методы решения уравнений. Далее Ньютон даёт классическое определение вещественного числа как отношения результата измерения к единичному эталону[2]:

Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу.

Оригинальный текст  (лат.)  

Per Numerum non tam multitudinem unitatum quam abstractam quantitatis cujusvis ad aliam ejusdem generis quantitattem quae pro unitate habetur rationem intelligimus.

Это определение фактически завершает многолетний процесс «уравнения в правах» целых, дробных и иррациональных чисел. В отличие от многих математиков того времени, Ньютон не рассматривал отдельно отрицательные числа и на примерах показал их полезность.

Затем излагается теория десятичных дробей, действий с ними и используемых обозначений. Ньютон в своих выкладках использовал обозначения Декарта, мало чем отличающиеся от современных. Однако, в отличие от Декарта, он полностью отделил алгебру от геометрии, подчеркнув, что при всей взаимной пользе у этих наук разные предметы.

В отдельных разделах, с многочисленными примерами и геометрическими иллюстрациями, излагаются действия с дробями, извлечение корней, типы уравнений, методы их упрощения и решения. Ньютон почти не приводит доказательств своих утверждений и основное внимание уделяет прикладным аспектам материала. Некоторые высказанные в книге глубокие теоремы удалось строго доказать только в XIX веке[1].

Особое внимание Ньютон уделил решению алгебраических уравнений, эта тема занимает почти половину книги. В ходе изложения приводятся решения 77 типовых задач (в основном геометрического характера), снабжённые подробными разъяснениями и методическими рекомендациями.

Среди других открытий Ньютона, изложенных в книге, можно упомянуть:

Перевод на русский язык

Литература

  • История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
  • Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. — М.: Наука, 1979. — С. 174-204. — 208 с. — (История науки и техники).
  • Юшкевич А. П. О «Всеобщей арифметике» И. Ньютона. // В книге: Ньютон И. Всеобщая арифметика. М.: Изд. АН СССР, 1948, стр. 347-391.

Ссылки

Примечания

dal.academic.ru

что это, упражнения и задачи

Ментальная арифметика сегодня на пике популярности. В каждом городе появляются новые развивающие центры, в уже существующих создаются специальные курсы. Родители, которых интересует этот вопрос, уже наверняка видели детей, производящих в уме без калькулятора сложные математические действия. Однако всем ли подходит эта методика обучения и в чем ее особенности, знают единицы.

Что такое ментальная арифметика?

Ментальная арифметика – это методика, которая учит быстрому счету. По сути, это набор упражнений для тренировки и развития мозга в процессе мысленной визуализации арифметических действий на специальных счетах. Чтобы научиться пользоваться этими счетами в уме, необходимо запомнить расположение косточек на спицах, а также выучить все ключевые манипуляции с ними. Счеты абакус представляют собой рамку с перекладинами и шестью спицами, на каждой из которых по пять костяшек.

Интересно!

Корни ментальной арифметики уходят в Древний Китай, но сама новаторская методика была изобретена в Турции. Она призвана дать человеку понимание пространственности и состава числа, что является отличной базой для дальнейшего изучения математики.

Кому подходит эта методика обучения?

Обучиться ментальной арифметике могут все желающие, но лучше всего эта программа усваивается детьми от 4 до 12 лет, поскольку именно в этом возрасте развитие мозга происходит максимально интенсивно, а многие навыки, полученные в этот период, сохраняются на всю жизнь.

Не стоит думать, что дети, которые не имеют направленности на точные науки, не смогут освоить данную методику.

Занимаясь ментальной арифметикой, они смогут совершенствовать свои творческие способности, а также забыть про свою нелюбовь к цифрам. Гиперактивные дети научатся обуздывать свои порывы и станут более спокойными.

Справка!

Обучиться ментальной арифметике могут не только дети, но и взрослые.

Зачем?

В реальной жизни ментальная арифметика поможет:

  1. Направлять внимание на главное. Если послушать интервью успешных людей, можно понять, что прийти к заветной цели им помогли вера в свои силы, настойчивость и умение концентрироваться на одной задаче. Ментальная арифметика научит сосредотачивать внимание на одной задаче и за счет этого справляться с ней максимально быстро.
  2. Быстро принимать решения. Ежедневные тренировки прививают умение оперативно находить решение, поэтому тот, кто владеет методикой ментальной арифметики, в любой кризисной ситуации выберет то, что важно.
  3. Быть уверенным в себе. Когда домашние задания перестают быть тягостными и невыполнимыми, ребенок чувствует себя гораздо увереннее, у него закрепляется установка «я победитель», следовательно, он сможет справиться с любыми сложными задачами в своей жизни.
  4. Творчески подходить к решению вопросов. Во время занятий ментальной арифметикой развивается воображение, поэтому появляется навык нешаблонного мышления.
  5. Легко общаться. Так как ментальная арифметика развивает оба полушария мозга, центры, которые отвечают за общение и эмоции, тоже активизируются. Это способствует более легкому общению, умению сопереживать и делиться.

Основные подходы

Как уже понятно из названия методики, ее принцип основывается на развитии способности считать в уме.

Начальные занятия проводятся в легкой игрово

belkanote.com


Смотрите также

Регистрация на сайте

Пароль будет отправлен тебе на e-mail.

 

×